Решебник по алгебре 7 класс дорофеев суворова бунимович 2013 фгос

У нас вы можете скачать решебник по алгебре 7 класс дорофеев суворова бунимович 2013 фгос в fb2, txt, PDF, EPUB, doc, rtf, jar, djvu, lrf!

Алгебра — это еш;ё одна из старейших ветвей математики наряду с известными вам арифметикой и геометрией. Раскрывая учебник математики, вы могли легко определить, изучению какого раздела посвящены эти страницы: Там, где шло изучение арифметики, были числа: А в геометрических главах вам непременно встречались линии, многоугольники, окружности и другие геометрические фигуры. Полистайте учебник алгебры — здесь вы тоже обнаружите числа, знаки сложения и вычитания, равенства и неравенства, могут встретиться и геометрические фигуры.

И повсюду вы увидите буквы латинского алфавита. Зачем математике, кроме чисел и фигур, понадобились буквы, формулы, как с помощью алгебраических приёмов легко и красиво можно решать самые разные задачи, вы и узнаете, изучая алгебру. Продолжая изучение математики, мы с вами попробуем придать более точный математический смысл словам, которые вы наверняка слышали и в обыденной речи, и на уроках математики. Это такие слова, как: Кроме того, вы узнаете о неизвестных вам ранее свойствах этих математических понятий.

Открывать новые страницы живой, увлекательной, но, как вы уже знаете, совсем не простой науки — математики вам поможет наш учебник. Устроен он так же, как и уже знакомые вам учебники математики для 5 и 6 классов. Заглянув в оглавление, вы увидите, что курс разбит на 9 глав — 9 важных этапов, которые вам предстоит пройти. Главы делятся на пункты. Если вы откроете учебник наугад, то сориентироваться, где вы находитесь, поможет специальная строка вверху этой страницы такая строка имеет своё название — колонтитул.

Каждый пункт содержит объяснительный текст и упражнения. Объяснительный текст разбит на несколько фрагментов их номера указаны на полях учебника , поэтому читать его можно в несколько приёмов. Ответив на вопросы и выполнив задания, размещённые в конце текста, вы сможете осмыслить прочитанное, проверить, хорошо ли его поняли. Главное, что надо понять и запомнить, выделено в тексте так: Разностью чисел а и Ь называют такое число, которое в сумме с числом Ь даёт число а. Если вы захотите вспомнить, что означает то или иное слово, встречавшееся вам в учебнике ранее, содержание какого-либо правила, то можете обратиться к предметному указателю.

В нём в алфавитном порядке дан перечень наиболее важных сведений и указаны страницы, на которых можно найти соответствуюш;ие разъяснения. Задания группы Б труднее, но каждому надо попытаться решить хотя бы некоторые из них. Ведь так здорово разобраться в чём-то, что казалось поначалу трудным, и так приятно, когда понимаешь, как решается хитрая задача. При изучении математики необходимо постоянно контролировать себя.

Откройте учебник на странице Без этих знаний вы не сможете изучать следующие разделы, двигаться дальше в изучении математики. Каждая глава содержит также материал, который позволит вам выйти за рамки круга обязательных вопросов, углубить свои знания, познакомиться с новыми приёмами решения задач. Значит, 7 1о Решим теперь эту же задачу в общем виде, прибегнув к буквенной записи.

Приведем их к общему знаменателю: При этом всегда полезно подумать, с какими дробями удобнее иметь дело. Правда, в некоторых случаях выбирать не приходится, поскольку обыкновенную дробь преобразовать в десятичную можно не всегда. Заменим в данном выражении знак деления дробной чертой и преобразуем полученную дробь с помощью основного свойства дроби так, чтобы в числителе и в знаменателе оказались целые числа: Для этого воспользуемся правилами действий с положительными и отрицательными числами: Обратите внимание на то, как была выполнена числовая подстановка: В самом деле, при таких значениях а и Ь пришлось бы делить на 0, а значит, в этом случае выражение не имело бы смысла.

Z3 Объясните, как выполнить вычитание фрагмент 1. Z1 Разберите пример 3. Перечислите условия, которым отвечает выполненная ,. Глава 1 20 Вычислите: Подставьте вместо букв заданные числа и найдите значение выражения: Найдите значение каждого из выра- О жений: Какое из двух утверждений верно? Считают, что первая степень любого числа равна самому числу: Вычислить степень числа, или, как говорят, возвести число в степень, можно путём последовательного умножения.

В то же время процесс возведения в степень можно сократить, если множители в произведении сгруппировать так, чтобы можно было использовать уже известные результаты. Эта особенность степени положена в основу древней индийской легенды.

Рассказывают, что изобретатель шахмат в награду за своё изобретение попросил у раджи немного зёрен пшеницы: Его просьба показалась радже слишком скромной, однако вскоре выяснилось, что выполнить её невозможно. Эта сумма равна огромному числу 18 , и она столь велика, что этим количеством зерна можно было бы покрыть слоем в 1 см всю поверхность нашей планеты, включая Мировой океан.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное. Это зависит от того, чётным или нечётным числом является показатель степени. Расположите в порядке возрастания числа: Подберите наименьшее натуральное число п, такое, при котором выполняется неравенство: При необходимости воспользуйтесь калькулятором. При каком наименьшем натуральном п выполняется неравенство: Найдите средний рост солдат подразделения и число солдат выше среднего роста.

Были получены следующие результаты: Представьте эти результаты в виде таблицы: Размер 39 40 41 Количество пар 96 97 Чему равна мода ряда размеров? Что характеризует этот показатель? Найдите размах посещаемости и среднюю посещаемость матча, округлив её до сотен.

В соревнованиях в стрельбе по мишени участвовало 12 человек, каждый из которых сделал по 10 выстрелов. В таблице указано число результативных выстрелов каждого из спортсменов: Номер участника 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Число попаданий 8 6 7 8 8 5 6 9 8 8 5 9 Найдите среднее арифметическое, моду и размах ряда попаданий.

Что характеризует каждый из этих показателей? Дроби и проценты 33 п о й S в А Ф ч о VO о 4 о 5 tr -- - - Рис. Найдите размах и моду ряда оценок. Отбросьте наибольшую и наименьшую оценки и найдите средний балл спортсмена. В каждой ли из этих групп заведомо есть призывник, годный к службе в Президентском полку? Верно или неверно Средняя масса волнистых попугайчиков школьного живого уголка 42 г.

Масса попугайчика Кеши равна 43 г. Верны ли следующие утверждения? Найдите среднее арифметическое и моду ряда отметок. Какую из этих характеристик Лена предпочла бы использовать при выставлении четвертной отметки? До конца четверти ещё две контрольные работы. Может ли Лена улучшить четвертную отметку? Какие отметки ей достаточно получить за эти контрольные работы? Найдите моду ряда отметок и средний результат по контрольной работе.

Дроби и проценты 35 Рис. Он выписал число рабочих дней, пропущенных в течение года по болезни каждым сотрудником, предварительно разбив их на две группы — курящие и некурящие.

Директор сделал по этим результатам убедительные выводы о вреде курения. Сделайте и вы то же самое. Используя полученный результат, попробуйте догадаться, чему равны средние арифметические следующих рядов: Проверьте себя с помощью вычислений.

Изменятся ли при этом мода и размах? Для этого рассмотрим таблицу: Вообш;е все натуральные числа могут быть отнесены к одной из четырёх групп: И последняя цифра числа 2" определяется тем, в какую из этих групп попадает показатель п.

Какой цифрой оканчивается число: Укажите ещё какую-нибудь степень числа 3, которая оканчивается той же цифрой. Приведите ещё примеры таких чисел. Сократите полученную дробь и сравните её с -.

Какую сумму надо положить в банк, чтобы по истечении года получить доход в р.? Сколько спортсменов участвует в кроссе? Сколько стоила книга до повышения цены? В следующем году она планирует сыграть на соревнованиях 22 игры. Сколько игр ей надо выиграть, чтобы её результат в процентном отношении оказался по крайней мере не хуже?

Как вы думаете, что выгоднее — купить неочищенные орехи по цене р. Сколько всего мест в кинотеатре? Сколько всего собрали яблок? Сколько процентов бюджетных денег досталось каждому району? Сколько всего процентов номеров оборудовано для отдыхающих с маленькими детьми? Среднее арифметическое Все числа ряда равны между собой.

Чему равно их среднее арифметическое? Может ли среднее арифметическое совпадать с наибольшим из трёх чисел? Найдите сумму этих чисел. Найдите его, зная, что среднее арифметическое ряда равно К этому ряду приписали число Чему теперь равно среднее арифметическое? Из этого ряда вычеркнули число Найдите среднее арифметическое всех этих чисел. Проиллюстрируйте его на сравнить эти дроби? Запишите с отрицательным показателем степени выражение 6 Какие статистические характеристики вы знаете?

Что называется средним арифметическим нескольких чисел? Приведите пример ситуации, в которой вычисляется среднее арифметическое. На каком комбинате произведена более эффективная реконструкция? US Глава 1 13 На первый курс медицинского училища может быть зачислено 60 учащихся. На сколько процентов увеличилось число учащихся школы?

Проверьте себ я тест 1 Какое из данных чисел наименьшее? Какое из следующих неравенств неверно? Например, если скорость увеличивается в 2 раза, то время уменьшается в 2 раза. Говорят, что при постоянном расстоянии время движения обратно пропорционально скорости движения. Можно сказать также, что скорость движения обратно пропорциональна времени движения.

Определение Две величины называют обратно пропорциональными, если при увеличении одной из них в несколько раз другая уменьшается во столько же раз.

Её называют формулой обратной пропорциональности. Эта формула выражает важное свойство обратно пропорциональной зависимости: Заметим, что формулу обратной пропорциональности принято записывать и в другом виде: Чему равно отношение объёма воды ко времени её поступления?

С На р. Чему равно произведение цены яблок на их массу? Прямая и обратная пропорциональность S3 Мотоциклист за некоторое время проехал расстояние, равное 30 км.

На сколько дней такого же запаса кормов хватит 10 кроликам? Сколько потребуется тракторов, чтобы вспахать это поле за 9 ч? Подсчитайте расход продуктов для 3 порций салата; для 12 порций салата. Установите зависимость между массой упаковки и количеством упаковок и заполните таблицу: Сколько страниц могут напечатать две из этих машинисток за 12 дней?

Сколько шерсти потребуется на шарф шириной 36 см и длиной 1 м? На сколько процентов повысилась урожайность кустов? Ответ округлите до единиц. На сколько процентов подешевели пряники, если стоимость упаковки осталась прежней?

Как изменились расходы столовой на муку, если она подорожала с 20 до 30 р. Как изменились ежедневные затраты фабрики на закупку какао-бобов? Как при этом изменятся расходы Николая на телефон, если он сократит время разговоров в 2 раза? Прямая и обратная пропорциональность 57 2. Решение задач с помощью пропорций Пешеход, который идёт с постоянной скоростью, за 10 мин про- шёл м, а за 20 мин — м. Очевидно, что отношения и равны, так как они выражают одну и ту же величину — скорость движения пешехода в метрах в минуту, поэтому можно Такие равенства называют пропорци- записать равенство ями.

Помимо дословного перевода с буквенного языка: Числа, образующие пропор- Средние члены цию —, имеют специаль- ные названия: Происхождение этих терминов станет совершенно понятным, если записать пропорцию в строчку: Например, является ли пропорцией равенство можно сделать, вычислив каждое из отношений, а можно воспользоваться известным правилом сравнения дробей. Любая пропорция обладает следующим свойством: С помощью букв его можно записать так: С помощью основного свойства пропорции любой её член можно выразить через три других.

Это позволяет по трём известным членам пропорции находить неизвестный. Отсюда легко найти неизвестный множитель х: X 28 - Задачи, в которых речь идёт о прямо пропорциональных или обратно пропорциональных величинах, удобно решать с помощью пропорций. На 6 одинаковых костюмов потребовалось 22 м ткани. Сколько ткани нужно для пошива 15 таких же костюмов?

Обозначим через х количество ткани в м , которое требуется для пошива 15 костюмов, и запишем кратко условие задачи: Количество ткани прямо пропорционально числу костюмов: Получаем пропорцию Щ Из этой пропорции находим неизвестное число х: Таким образом, для пошива 15 костюмов требуется 55 м ткани. Прямая и обратная пропорциональность 59 Решим эту же задачу, составив другую пропорцию. Возьмём отношения и Каждое из них показывает, сколько ткани идёт на один костюм, следовательно, эти отношения равны.

Чай расфасовали в 30 пачек по г в каждой. Сколько пачек получится, если это же количество чая фасовать в пачки по г? Обозначим через х количество пачек чая по г и кратко запишем условие задачи: Количество пачек чая обратно пропорционально массе одной пачки: Теперь надо составить равные отношения.

Здесь важно не ошибиться: X Итак, если фасовать чай в пачки по г, то получится 18 пачек. Решим задачу другим способом, который вы, возможно, посчитаете более простым. Отсюда легко найти неизвестный множитель х. D Запишите каждое утверждение в виде пропорции, назовите крайние члены и средние члены пропорции: Сколько метров этой ткани потребуется на б таких же юбок? Сколько упаковок получится, если это же количество конфет расфасовать в упаковки по г?

Сформулируйте правило нахождения неизвестного крайнего члена пропорции; неизвестного среднего члена пропорции. Она запечатывает конвертов за 16 мин. Сколько конвертов запечатает она за 40 мин, если будет работать с такой же скоростью? Сколько знаков она наберёт за 5 мин, если будет работать с той же скоростью? Решите задачу — Сколько осадков выпало бы за 6 ч, если бы дождь шёл с такой же силой?

За какое время можно распечатать на этом принтере страниц? Чему равно это расстояние в действительности? Чему равно это расстояние на карте? Прямая и обратная пропорциональность 61 В любой окружности отношение длины окружности к её диа- 22 метру одно и то же и приближённо равно —.

Ответы округляйте до десятых. Хватит ли 11 столовых ложек сахара, чтобы наполнить стакан? Хватит ли бака бензина, вмеш;ающего 40 л, чтобы проехать км? Рассчитайте рецепт приготовления блюда: Сколько соли, перца и гвоздики потребуется для 30 порций? Сколько сахарного песка и муки потребуется, если тесто готовится из 9 яиц? Велосипедист проехал этот же путь за 2 ч. С какой скоростью ехал велосипедист? Сколько таких чисел вы нашли в каждом случае? Длина фасада реального дома равна 9 м.

Выполните на чертеже необходимые измерения и определите: Снято старых рельсов. На сколько меньше потребуется новых рельсов, чтобы заменить старые? На сколько надо увеличить скорость, чтобы сократить время прохождения этого перегона на 2 мин?

Сколько такой же шерсти нужно, чтобы связать шарф размером 12 х 80 см? Следующую остановку он планирует сделать в пункте, после которого ему останется проехать четверть всего пути. Через какое время он сделает вторую остановку, если будет ехать с той же скоростью? Сколько ещё нужно рабочих, чтобы эта работа была выполнена за 6 ч?

Сколько ещё надо подключить труб, чтобы вода вылилась за 2 ч? Они вместе отпечатали рукопись, одновременно начав и закончив работу. Первая отпечатала страниц.

Сколько страниц отпечатала вторая машинистка и сколько страниц в рукописи? Они одновременно вышли навстречу друг другу, первый из пункта А, второй из пункта В, и встретились в 3,6 км от пункта А.

Чему равно расстояние между пунктами? Убедитесь, что вы вновь получите пропорцию, если: Убедитесь в том, что полученные равенства действительно являются пропорциями. Сформулируйте соответствующие свойства пропорции. Три фирмы вложили в некоторый проект соответственно 6, 4 и 2 млн р. Как они должны разделить эту прибыль?

Обычно считается, что распределение прибыли должно соответствовать долям средств, внесённых в проект его участниками. Деньги, вложенные первой и второй фирмами, относятся как 6 к 4, а второй и третьей — как 4 к 2. В таких случаях вместо двух отношений 6: Именно в таком отношении 6: Наши рассуждения привели нас к хорошо знакомой задаче на части. Заметим, что рассмотренное в задаче отношение 6: Тогда мы получили бы более простое отношение 3: В этом случае было бы всего 6 частей, однако каждая часть составляла бы 4 млн р.

Система распределения прибыли, описанная в этой задаче, называется пропорциональной. Можно сказать, что прибыль разделили пропорционально суммам, вложенным в проект. Участок земли разделили между четырьмя фермерами пропорционально количеству членов их семей. В семье первого фермера 4 человека, в семье второго — 6 человек, третьего — 7 человек и в семье четвёртого фермера — 3 человека. Какой процент площади участка получил каждый фермер?

Это тоже задача на части. Тест включает 30 задач: В каком отношении в тесте находятся: Сколько процентов выплаченной за работу суммы получил каждый из трёх участников, если она была распределена между ними в отношении 5: Прямая и обратная пропорциональность BS Упростите отношение, сократив его: Тепличное хозяйство оплатило их работу в размере 54 р.

Как разделить эту сумму между тремя классами? Какой процент этого сбора составляет каждая из трав? В дело они вложили соответственно 2 тыс. Какой процент прибыли получит каждый из них?

Сколько всего собак на выставке, если: Сколько всего вопросов будет в викторине, если включить: Глава 2 Всего имеется г семян.

Сколько семян будет в каждом пакете? За каждую из них он дал продавцу одно и то же количество купюр, причём за первую газонокосилку он заплатил купюрами достоинством в р.

Сколько стоит каждая газонокосилка? Остальными акций владеют работники этого предприятия. Сколько акций имеет каждая из фирм? Арифметика учит обращаться с числами и с числовыми арифметическими выражениями, алгебра - с буквами и буквенными алгебраическими выражениями.

Буквы и другие знаки появились в математике не сразу, а в результате её длительного развития. Учёные древности алгебраические приёмы решения задач описывали словами, с помощью длинных предложений. Поэтому алгебру тех времён называют риторической или словесной. Переход от риторической алгебры к символической, в результате которого словесные правила были заменены формулами, а буквенные выражения сами стали предметом исчисления, происходил на протяжении нескольких веков.

Решительный шаг в этом направлении был сделан только в конце XVI в. Это аало нааоящим прорывом, и сегодня уже невозможно предаавить математику без букв, символов, формул. Но для того чтобы формулировать утверждения, которые составляют основу вычислительных приёмов, коротко и наглядно записывать свойства арифметических действий, нужны буквы. С таким применением букв вы познакомились ещё в начальной школе, когда изучали основные свойства сложения и умножения чисел.

В буквенном виде это свойство записывается так: Сочетательное свойство сложения, согласно которому при сложении трёх чисел можно группировать как первые два слагаемых, так и последние два: Распределительное свойство — совместное свойство действий сложения и умножения: Попробуем некоторые из них сформулировать и записать с помощью букв.

Для этого рассмотрим два примера устных вычислений и в каждом случае постараемся понять, с помощью каких действий мы получаем нужный результат.

Чтобы вычесть из числа 68 число 35, можно представить его в виде суммы чисел 30 и 5 и сначала отнять от 68 число 30, а затем от получившегося результата отнять число 5. Запишем эти рассуждения с помощью цепочки равенств: Точно так же можно поступать и с другими числами: Таким образом, независимо от того, какие конкретные числа берутся, мы пользуемся одним и тем же приёмом: С помощью букв данный приём может быть описан следующим образом: Числовое значение от этого не изменится.

Чтобы разделить число на 3, можно рассуждать так: Введение в алгебру 75 Запишем ход наших рассуждений: Приём, с помощью которого мы выполнили деление, состоит в следующем: С помощью букв эти действия могут быть описаны так: Если в качестве знака деления использовать черту дроби, то равенство примет такой вид: В таблице приведены ещё некоторые примеры приёмов вычислений и дана их буквенная запись.

Назовите их и запишите соответствующие равенства с помощью букв. Назовите и сформулируйте каждый из них; приведите иллюарирующие их числовые примеры. Запишите соответствующую цепочку числовых равенств, а потом опишите используемый приём с помощью букв: Числовое значение будет одно и то же: Продали а пакетов с грецкими орехами, Ь пакетов с арахисом и с пакетов с фундуком.

Составьте различные выражения для вычисления общей массы проданных орехов и запишите соответствующие равенства. Определите, какое из приведённых ниже равенств неверно. Запишите соответствующее правило с помощью букв. Работаем с символами 23 7 — Запишите с помощью букв правило, которое зашифровано данными равенствами: Запишите с помош;ью букв правило обраш;ения смешанной дроби в неправильную дробь.

Найдите площадь фигуры рис. Составьте несколько различных выражений для вычисления площади прямоугольника рис. Если вам трудно сделать это сразу, то обратитесь к числовому примеру: Какое число в этом примере записано вместо буквы а? Запишите с помощью букв приём, используя который можно разделить: Запишите с помощью букв и скобок несколько разных способов вычисления произведения четырёх чисел. Ответ запишите в виде цепочки равенств. Там же были рассмотрены и другие примеры преобразования выражений.

Введение в алгебру 79 Преобразовать буквенное выражение — это значит заменить его другим выражением, принимающим при любых допустимых значениях букв то же значение, что и исходное. Буквенные равенства, выражающие соответствующие свойства, мы теперь будем считать законами алгебры. Опираясь на законы алгебры, мы будем последовательно вводить правила преобразования буквенных выражений.

Здесь будут рассмотрены правила преобразования сумм и произведений. Из переместительного и сочетательного законов сложения следует правило: Это правило можно применять для преобразования любых выражений — содержащих и буквы, и числа. Например, выражение а Ч- Ь Ч- с -f- с? Рассмотрим, например, выражение 2а - л: Меняя каким-либо образом эти слагаемые местами, будем получать равные выражения.

Такие выражения, как 2а - д: Данное выражение — сумма, состояш;ая из четырёх слагаемых: Поменяем местами слагаемые в этой сумме: Сгруппируем первые два и последние два слагаемых: На последнем шаге мы воспользовались ещё одним законом, согласно которому от прибавления нуля сумма не меняется.

Выполненные преобразования можно записать в виде цепочки: Мы привели здесь подробную запись, чтобы показать, как работают законы алгебры, а на практике промежуточные шаги часто выполняют устно — слагаемые переставляются и группируются не руками, а глазами. Например, можно было бы ограничиться такой цепочкой: Q Правило преобразования произведений следует из переместительного и сочетательного законов умножения.

В любом произведении множители можно как угодно переставлять и произвольным образом объединять в группы. Сгруппируем отдельно числовые и буквенные множители и запишем вначале произведение числовых множителей, а затем буквенных, расположив их в алфавитном порядке: Скобки, окружающие отрицательный множитель, записанный на первом месте, обычно опускают.

Заметим, что коэффициент, равный 1, обычно не пишут: Упростим произведение -а са -д. Из каких законов оно следует? Запишите подробную цепочку преобразований и объясните каждый шаг. Z] Сформулируйте правило преобразования произведения фрагмент 3. Составьте выражение для вычисления длины проволоки, которая для этого потребуется. Для каждого выражения из верхней строки выберите равное ему из нижней строки и запишите соответствующее равенство.

Сколько в автопарке микроавтобусов? Сколько было в продаже гоночных велосипедов? Во сколько раз увеличилась площадь прямоугольника? Во сколько раз увеличился его объём? Сторону квадрата увеличили в 3 раза. Во сколько раз увеличилась его площадь?

Таким обра- зом, площадь увеличилась в 9 раз. Чётным или нечётным является число: Сколько всего мест в амфитеатре, если он состоит: Введение в алгебру Подставьте в выражение аЬ вместо переменных а и Ь указанные выражения и выполните преобразования: Возьмём, например, выражения 2а и Зл: Тогда 2а Зя: Эти выражения записаны с помощью скобок, но каждое из них можно заменить равным выражением без скобок.

Такое преобразование выражений называют раскрытием скобок. Раскроем скобки в сумме 2а -I- Зл: Здесь к слагаемому 2а прибавляется сумма выражений Зл: Вспомните, что сочетательный закон сложения гласит: Поэтому сумму принято записывать без скобок. Теперь раскроем скобки в разности 2а - Зл: Таким образом, 2а - Зл: Чтобы к некоторому выражению прибавить алгебраическую сумму, надо прибавить к этому выражению отдельно каждое слагаемое этой суммы.

Чтобы из некоторого выражения вычесть алгебраическую сумму, надо прибавить к нему отдельно каждое слагаемое этой суммы, взяв его с противоположным знаком. Они позволяют выполнять рассмотренные преобразования короче. Поэтому, раскрывая скобки, запишем каждое слагаемое а, 6 и -с с противоположным знаком: В Раскрыть скобки в произведении 2а 3л: Чтобы умножить 2а на сумму Зл: Такое преобразование обычно записывают короче, выполняя промежуточные шаги устно: Чтобы умножить некоторое выражение на алгебраическую сумму, нужно умножить это выражение отдельно на каждое слагаемое суммы и результаты сложить.

Проиллюстрируйте их на примере выражений Зл: На основании какого закона раскрывают скобки в произведении Зх 2у-г 7 Сформулируйте соответавующее правило и выполните преобразование.

Введение в алгебру Какое из следующих равенств верно: Сколько книг на трёх полках? Сколько книг в трёх шкафах? Первый до встречи проехал I км, а второй — па. Чему равно расстояние между А и В? Турист идёт из одного пункта в другой. Пройдя х км, что составило большую часть пути, он сделал остановку. Сколько километров ему осталось пройти?

На сколько километров оставшееся расстояние меньше пройденного? Введение в алгебру 89 Раскройте скобки: Покажите, как можно получить второе выражение из первого с помощью преобразований.

Найдите сумму трёх следующих натуральных чисел. Каждый шаг в п. При этом вам придётся вспомнить свойства делимости суммы. Чтобы доказать наше утверждение, мы преобразовали сумму в произведение: Каждое слагаемое в этой сумме содержит один и тот же множитель а. Этот общий множитель можно вынести за скобки: А право на такое преобразование нам даёт распределительный закон. Только в данном случае этот закон мы применяем справа налево: На таком применении распределительного закона основан важный приём упрощения сумм, с которым мы познакомимся на следующем примере.

У слагаемых 2а, 4а и а одна и та же буквенная часть. Такое преобразование называют приведением подобных слагаемых. Чтобы привести подобные слагаемые, нужно: В этой сумме две группы подобных слагаемых. У одних общей буквенной частью является произведение аЬ, у других — буква с. Найдём сумму коэффициентов подобных слагаемых первой группы: Значит, эту группу слагаемых надо заменить выражением 2аЬ.

Введение в алгебру Теперь найдём сумму коэффициентов слагаемых второй группы: Значит, в результате приведения подобных слагаемых второй группы мы получим 5с. Заметим, что подобные слагаемые можно группировать мысленно, выделяя их специальными знаками. Тогда решение записывается короче.

В данном случае оно может быть, например, таким: На каком законе основано приведение подобных слагаемых? Проиллюстрируйте правило приведения подобных слагаемых на примере выражения 7с - 2,5 - 1,5с. Згшишите выражения для определения будущего урожая картофеля в каждом хозяйстве и общего урожая картофеля во всех трёх хозяйствах, если в среднем с каждой сотки пла нируется собрать по М кг.

Сколько действий надо выполнить, чтобы вычислить значение выражения а -Ь 6 х? Какое из этих двух выражений более удобно для вычислений с помощью калькулятора? Введение в алгебру S3 Составьте выражение по условию задачи и упростите его: Сколько книг было на трёх полках вместе?

Из них т карандашей красные, синих на 7 меньше, а зелёных в 2 раза больше, чем синих. Сколько в коробке карандашей? Чему равно расстояние между А и В, если пешеходы встретились через 2 ч? Сколько страниц можно напечатать с помош;ью этих двух принтеров за 1 ч? Теперь я отгадаю, какое число у вас получилось. Покажем с помош;ью алгебраических преобразований, как учитель узнал результат. Прибавьте к нему 5: Умножьте сумму на 2: Вычтите удвоенное задуманное число: Сколько заплатили за коммунальные услуги за эти три месяца?

Увеличилась или уменьшилась площадь сквера и на сколько процентов? Докажите, что для того, чтобы проплыть такое же расстояние в стоячей воде, потребуется такое же количество времени. Введение в алгебру 95 3. А сами законы, в свою очередь, основываются на здравом смысле, точнее, на смысле арифметических действий над реальными величинами. Но, исходя из здравого смысла, можно сразу, не прибегая к арифметике, получать многие правила, например, известное вам правило приведения подобных слагаемых.

Его можно истолковать, или, как ещё говорят, интерпретировать, так: Примерно так при решении задач рассуждали математики ещё в Древней Греции. Рассмотрим другие, более сложные примеры. Сколько у него осталось денег? Подсчитать искомый остаток человек может двумя способами. А можно считать последовательно: Но полученные при этих способах подсчёта остатки — это одна и та же сумма.

Пример 2, Как обосновать правило раскрытия скобок: Пусть человек, имеющий х рублей, хотел купить вещь стоимостью у рублей, но оказалось, что эта вещь стоит на z рублей дешевле. Тогда после покупки у него осталось х - у - z рублей. Пусть туристу надо было пройти х км, и в первый день он намеревался пройти у км, но прошёл на z км меньше. Тогда после первого дня ему осталось пройти х - у - z км. SS Глава 3 y: Рассмотрим прямоугольник со сторонами X и у рис. Разделим его сторону длиной у на 2 равных частей и разрежем данный прямоугольник.

Тогда площадь каждого слоя будет равна х у: С другой стороны, всего имеется 2 слоёв равной площади, а их общая площадь равна ху, и поэтому площадь каждого слоя равна ху: Верно ли полученное равенство?

Однако опоры на реальный смысл арифметических действий, вообще говоря, недостаточно. С точки зрения математики алгебраические преобразования, которыми мы пользуемся, нуждаются в более строгом обосновании. И оказывается, ваших знаний вполне достаточно для проведения нужных доказательств.

Надо только суметь воспользоваться этими знаниями. Введение в алгебру 97 Будем при доказательствах пользоваться переместительными законами сложения и умножения, сочетательными законами сложения и умножения, распределительным законом и некоторыми другими: Назовём их основными законами алгебры.

Нам также понадобятся известные вам определения разности и частного: Фактически перед нами стоит задача: Воспользовавшись распределительным законом, получим: Этот пример может вызвать некоторое удивление, поскольку мы давно привыкли писать все суммы без скобок и разрешили это себе специальным правилом, вытекаюш;им из сочетательного закона сложения.

В действительности, однако, мы должны доказать, что, преобразуя выражение по этому правилу, мы всегда будем получать верные равенства.

А данный пример является одним из частных случаев для обоснования этого правила. И сейчас мы увидим, что это равенство действительно следует из сочетательного закона сложения: Мы дважды воспользовались сочетательным законом: Итак, в выражении xyz можно поставить скобки двумя способами. А сколькими способами можно поставить скобки в выражении xyzt?

Докажите, что при этом каждый раз будут получаться равные выражения. Представьте число в виде суммы разрядных слагаемых. Запишите выражение по условию задачи и упростите его — За первый час пути он прошёл х км, за второй — на 20 км меньше, а за третий — путь, в 1,5 раза больший, чем за предыдущий час. Сколько километров прошёл автобус в оставшееся время? Какова длина всего провода? Их количество удвоили, а затем из коробки вынули дюжину пуговиц.

Остаток пуговиц снова удвоили, а затем вновь вынули дюжину пуговиц. Эту операцию проделали и в третий раз. Сколько пуговиц стало в коробке? Покажите их применение на примерах. Сформулируйте правило приведения подобных слагаемых и поясните его на примере выражения 5а - 4а -Ь а - 6. Сколько литров воды в трёх вёдрах? Чему равен периметр прямоугольника? Введение в алгебру Ю1 Проверьте себя тест 1 Какое из следующих равенств выражает правило вычитания из числа суммы двух чисел?

Сколько километров туристы прошли пешком? Скорость принтера Б в 2 раза больше скорости принтера А, а скорость принтера С в 1,5 раза больше скорости принтера В. На каждом из них надо распечатать по 50 страниц научного отчёта. Через 3 мин после включения работа была ещё не закончена. Сколько всего страниц отчёта осталось распечатать к этому моменту? Уравнения Вы уже решали немало задач с помощью рассуждений и, конечно, поняли, что к каждой задаче надо подбирать свой особый ключик.

Алгебра предлагает вам новые возможноаи. В этом шутливом афоризме заключён глубокий смысл. Переводя условия задач на язык математики, решая задачи алгебраическим способом, с помощью уравнений, вы увидите, как один и тот же приём позволяет решать самые разные, внешне совсем не похожие одна на другую задачи.

А это особенно важно в наш компьютерный век, когда использование схожих алгоритмов при решении различных задач стало повсеместным. Основа такого перевода, его первый шаг — введение буквы для обозначения какой-либо неизвестной величины.

В результате перевода обычно получается равенство, содержащее букву. Это равенство, как вы уже знаете, называют уравнением. Решим с помощью составления уравнения такую задачу: В семье две пары близнецов, родившихся с разницей в три года. Сколько лет было каждому из близнецов в г.? Обозначим через х возраст младших близнецов в г. Тогда старшим близнецам в этом году было по л: По условию задачи суммарный возраст близнецов в г. Таким образом, уравнение составлено. Теперь, чтобы найти неизвестное число дг, это уравнение надо решить.

Сначала упростим его левую часть: Найдём из этого уравнения слагаемое 4дг: Теперь остаётся найти неизвестный множитель х: Итак, мы нашли неизвестное число, которое обозначили буквой X, Однако это еш;ё не ответ задачи. Буквой х был обозначен возраст младшей пары близнецов: Но еш;ё нужно найти возраст старшей пары близнецов. Так как старшим близнецам на 3 года больше, то им было по 12 лет.

Попробуйте решить эту же задачу арифметически. Вы сможете убедиться, что это не так уж и просто и что алгебраический способ, безусловно, легче. А как и когда этот способ зародился? Известно, что впервые применил букву для обозначения неизвестной величины Диофант Александрийский — древнегреческий математик, живший в III в. Это был очень важный шаг в создании символического языка математики. Z1 с чего начинают составление уравнения по условию задачи? Z1 Разберите решение задачи в тексте данного пункта и ответьте на вопросы; а Какая величина обозначена буквой х7 б Какое выражение означает возраст старших близнецов в г.?

Какое выражение означает возраст, которого достигли в г. Чему равна записанная сумма? Выполните проверку, вычислив возраст близнецов в г. Составьте разные уравнения по условию задачи, обозначая буквой различные величины — Сколько человек в каждом вагоне? Сколько среди них мальчиков и сколько девочек, если девочек на 6 больше, чем мальчиков? Уравнения а В двух пачках вместе листов бумаги. Сколько листов бумаги в каждой пачке, если известно, что в одной из них листов в 4 раза больше, чем в другой?

Сколько отдыхаюш;их было в июне и сколько в июле, если всего в эти два месяца отдохнуло человек? Верно или неверно — В три ящика разложили 23 кг слив. Во втором ящике слив в 1,5 раза больше, чем в первом, а в третьем — на 2 кг больше, чем в первом. Сколько слив в каждом ящике? Обратная пропорциональность 50 2. Решение задач с помощью пропорций 57 2.

Пропорциональное деление 64 2. Введение в алгебру 3. Буквенная запись свойств действий над числами 73 3. Преобразование буквенных выражений 78 3. Раскрытие скобок 85 3. Приведение подобных слагаемых 89 3. Ещё раз о законах алгебры Для тех, кому интересно 95 Дополнительные задания 98 Чему вы научились Глава 4. Алгебраический способ решения задач 4. Корни уравнения 4. Решение уравнений 4. Решение задач с помощью уравнений 4. Некоторые неалгоритмические приёмы решения уравнений Для тех, кому интересно Дополнительные задания Чему вы научились Глава 5.

Координаты и графики 5. Множества точек на координатной прямой 5. Расстояние между точками координатной прямой 5. Множества точек на координатной плоскости 5. Ещё несколько важных графиков 5. Графики вокруг нас 5. Графики зависимостей, заданных равенствами с модулями Для тех, кому интересно Дополнительные задания - Чему вы научились Глава 6. Свойства степени с натуральным показателем 6. Произведение и частное степеней 6. Степень степени, произведения и дроби 6. Решение комбинаторных задач 6.

Круговые перестановки Для тех, кому интересно Дополнительные задания Чему вы научились Глава 7. Одночлены и многочлены 7. Сложение и вычитание многочленов 7. Умножение одночлена на многочлен 7. Умножение многочлена на многочлен 7. Формулы квадрата суммы и квадрата разности 7.

Решение задач с помощью уравнений 7. Деление с остатком Для тех, кому интересно Дополнительные задания Чему вы научились Глава 8. Разложение многочленов на множители 8. Вынесение общего множителя за скобки 8. Способ группировки 8. Формула разности квадратов 8. Формулы разности и суммы кубов 8. Разложение на множители с применением нескольких способов 8. Решение уравнений с помощью разложения на множители 8. Несколько более сложных примеров Для тех, кому интересно Дополнительные задания Чему вы научились Глава 9.

Частота и вероятность 9.